Nombre: Gabriel
Cajero Padilla
Registro: 16310058
Profesor: Cesar
Octavio Martínez Padilla
1er
Parcial
Materia: Estática
Investigación 1
SOLIDO RIGIDO
Se define el sólido rígido como un cuerpo
extenso e indeformable, de modo que las posiciones relativas de las partículas
que lo constituyen se mantienen invariables.
En general, el movimiento de un sólido rígido
puede ser muy complejo; sin embargo, vamos a ver que haciendo las
descomposiciones oportunas, puede ser analizado por partes, lo que nos
permitirá simplificar el problema.
Centro de gravedad
El centro de gravedad o centro de masas de
un sistema continuo es
el punto geométrico definido como:
En mecánica del sólido rígido, el centro de masa se usa porque tomando
un sistema de coordenadas centrado en él, la energía cinética total K puede expresarse como , siendo M la masa total del cuerpo, V la velocidad de traslación del centro de masas y Krot la energía de
rotación del cuerpo, expresable en términos de la velocidad angular y
el tensor de inercia.
Sea una partícula cualquiera de un
sólido rígido el cual se desplaza girando. Dado que todos los puntos están
rígidamente conectados podemos hacer la siguiente descomposición de posición y
velocidades, tomando un punto de referencia arbitrario
Momento
angular
El momento
angular es
una magnitud física importante porque en
muchos sistemas físicos constituye una magnitud conservada, a la cual bajo
ciertas condiciones sobre las fuerzas es posible asociarle una ley de conservación.
Donde V,p(r) son
el volumen del sólido y la densidad másica en cada punto, Y Vo,ro son la velocidad de una partícula
del cuerpo y el vector de posición respecto a O. Conviene recordar que el valor de
la magnitud anterior depende de qué punto Ose elija. Para el estudio de sólidos
rígidos en movimiento conviene escoger un "punto móvil" (es decir,
para cada instante del tiempo consideraremos un punto diferente del espacio).
Donde se ha introducido la
abreviación:
r=rG
Espacio de configuración de un sólido rígido
La mecánica la grangiana
para describir un sistema mecánico con un grado finito de grados de libertad se
define como una variedad diferenciable llamada espacio de configuración. El movimiento del sistema o evolución
con el tiempo se describe como un conjunto de trayectorias a lo largo del espacio de configuración.
Para un sólido rígido con un punto inmóvil (sólo existe rotación) el espacio de
configuración viene dado por la variedad diferenciable del grupo de rotación SO(3).
Equilibrio
El equilibrio mecánico es una
situación estacionaria en la que se cumplen una de estas dos condiciones:
(1) Un
sistema está en equilibrio mecánico cuando la suma de fuerzas y momentos, sobre
cada partícula del sistema es cero.
(2) Un
sistema está en equilibrio mecánico si su posición en el espacio de
configuración es un punto en el que el gradiente de energía potencial es cero.
La alternativa (2) de definición equilibrio es más
general y útil (especialmente en mecánica de medios continuos).
Como consecuencia de las leyes de la mecánica, una
partícula en equilibrio no sufre aceleración lineal ni de rotación, pero puede
estar moviéndose a velocidad uniforme o rotar a velocidad angular uniforme.
Esto es ampliable a un sólido rígido. Las ecuaciones necesarias y suficientes
de equilibrio mecánico son:
·
Una partícula o un sólido rígido esta en equilibrio de traslación
cuando: la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero.
En el espacio, tiene tres ecuaciones de fuerzas,
una por dimensión; Descomponiendo cada fuerza en sus coordenadas tenemos:
Y como un vector es cero, cuando cada una de sus componentes es cero, tenemos:
Y como un vector es cero, cuando cada una de sus componentes es cero, tenemos:
Un solidó rígido esta en equilibrio de traslación cuando la suma, de las
componentes, de las fuerzas que actúan sobre él es cero.
Un sólido rígido esta en equilibrio de rotación, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.
Un sólido rígido esta en equilibrio de rotación, si la suma de momentos sobre el cuerpo es cero.
En el espacio tiene las tres ecuaciones una por
dimensión; por un razonamiento similar al de las fuerzas:
Un sólido rígido está en equilibrio
de rotación cuando la suma de las componentes de los momentos que actúan sobre
él es cero
Un sólido rígido está en equilibrio si está en
equilibrio de traslación y de rotación.
CONDICIONES DE EQUILIBRIO
Las condiciones de equilibrio son las leyes que rigen la estática. La estática es la ciencia que estudia las fuerzas que se aplican a un cuerpo para describir un sistema en equilibrio. Diremos que un sistema está en equilibrio cuando los cuerpos que lo forman están en reposo, es decir, sin movimiento. Las fuerzas que se aplican sobre un cuerpo pueden ser de tres formas:
Las condiciones de equilibrio son las leyes que rigen la estática. La estática es la ciencia que estudia las fuerzas que se aplican a un cuerpo para describir un sistema en equilibrio. Diremos que un sistema está en equilibrio cuando los cuerpos que lo forman están en reposo, es decir, sin movimiento. Las fuerzas que se aplican sobre un cuerpo pueden ser de tres formas:
Fuerzas angulares: Dos fuerzas se dice que son angulares, cuando actúan sobre un mismo punto formando un ángulo.
Fuerzas colineales: Dos fuerzas son colineales cuando la recta de acción es la misma, aunque las fuerzas pueden estar en la misma dirección o en direcciones opuestas.
Fuerzas paralelas: Dos fuerzas son paralelas cuando sus direcciones son paralelas, es decir, las rectas de acción son paralelas, pudiendo también aplicarse en la misma dirección o en sentido contrario.
Bibliografía
Solido rígido
Equilibrio
Condiciones de equilibrio
